انجمن رياضيات مراكز تربيت معلم استان بوشهر ـ بنت الهدي صدر وعلامه طباطبايي ـ در روز پنجم اسفند ماه 1382 همزمان با روز بزرگداشت خواجه نصيرالدين طوسي با حضور جمعي از مسئولين ، اساتيد دانشگاه و دانشجويان افتتاح گرديد.

اهدافي كه ما در پرتو همدلي و همراهي شما به آنها چشم دوخته ايم و آرزومند تحققشان هستيم ، همانا گسترش انديشه هاي نو در امر تدريس رياضيات و نيز ارائه ي شيوه هاي جديد و عملي جهت توجه دانش آموزان به درس رياضي و استفاده از جنبه هاي زيبا وكار آمد رياضيات در زندگي هستند .

حال بياييد چند سطري را با رياضيات خلوت كرده و با او درد دل كنيم.

او مي گويد:مگر زنگ ورزش چه دارد كه تمام بچه ها براي رفتن به ميدان ورزش مي دوند، اما براي ساعت رياضيات ... و يا به قول شاعر گل شبدر چه كم از لاله قرمز دارد.

ما مي گوييم:دانش آموزان، شما را آن گونه كه هستي نمي شناسند .

او مي گويد: ايراد من چيست اين دبيران رياضي هستند كه مرا اين گونه معرفي مي كنند.

ما مي گوييم: براي حل مشكل شما ، اين انجمن را تشكيل داديم ودر راس همه ي اهداف آن درد دل شما را قرار داديم.

از آنجايي كه اين نشريه نخستين شماره خود را تجربه مي كند، بالطبع با كمبود ها و كاستي هايي همراه مي باشد. لذا نشريه چشم به راه نظريات شما مي باشد و اميدش روزي را به انتظار مي كشد كه نشريه اي پر بار و مفيد و در خور شما خوانندگان محترم ارائه دهد.

ما نشريه خود را در روز بزرگداشت حكيم عمر خيام تقديم شما خوانندگان محترم نموديم تا ما را انگيزه اي باشد که پيرو خوبي براي آن بزرگوار باشيم.

در پايان از تمام دوستان و مسئولين محترم كه ما را در راه تحقق اهداف انجمن ياري نموده و مايه ي دلگرمي ما بوده اند تشكر مي كنيم . به ويژه ازجناب آقاي محمدي باغملايي معاون برنامه ريزي سازمان ، سركار خانم شريفي و آقاي كمالي راد روساي دو مركزو جناب آقاي اتابك زاده استاد رياضيات دو مركز و استاد راهنماي انجمن و جناب آقاي رستمي استاد مشاور انجمن تشكر و قدرداني ويژه داريم.

انجمن ما طلوع جاودانه ی روزي را در انتظار است كه عشق به رياضيات در دل ها كتيبه گردد .

سردبير نشريه

عبدالحميد پهلوزاده

بالا

فلسفه راز و مر

واژه ي رياضيات،به جاي واژه ي يوناني « mathematice» گذاشته شده است كه خود از mathema به معناي « دانش» و« دانايي» آمده است.

اغلب ، واژه ي« رياضيات » را، بر گرفته از واژه ي «رياضت» دانسته اند چرا كه « رياضت» تنها به معناي«پرهيزكاري بدني» نيست و « در خود فرو رفتن» و«فهميدن» و« رسيدن به رازها» را هم مي رساند .

ديدگاههاي ديگري هم وجود دارد . بسياري از زبان شناسان، با بحثهاي زبانشناختي نتيجه مي گيرند، mathema همان واژه ي فارسي« مزدا» است كه همان معناي واژه ي يوناني را دارد : « دانا» و« آگاه».

ديدگاه سوم، معتقد است كه واژه ي « رياضي» از واژه ي فارسي « راز» به معناي « اندازه گرفتن» آمده است كه در واژه هاي« تراز» و« ترازو» با حفظ معناي خود باقي مانده است. در ضمن، واژه ي« مر» در زبان فارسي (كه در واژه هاي« شمر» و « شمردن» وجود دارد)، به معناي « شمردن» و « محاسبه كردن» است.

بد ين ترتيب، اينان به جاي واژه ي« رياضيا ت» واژه ي « راز و مر» را پيشنهاد مي كنند كه درست به معناي« اندازه گرفتن و شمردن» است و اگر رياضيات را « دانش رابطه هاي كميتي و شكلهاي فضايي» بدانيم، واژه ي « راز و مر» مي تواند انتخابي درست باشد.

اگر واژه ي« رياضيات» را بر گرفته از واژه ي« رياضت» فرض كنيم، مي تواند اثري منفي در علاقه مندان به اين دانش بگذارد؛ زيرا همگان « رياضت» را به معناي « سختي كشيدن، در انزوا فرو رفتن و فشار بيش از اندازه به خود » مي دانند، كه با ماهيت دانش رياضي سازگاري ندارد.

جدا از اين بحث كه mathema از« مزدا» گرفته شده است يا « رياضيات» از واژه ي « راز» آمده است، به نظر مي رسد، اگر قرار باشد واژه ي فارسي به جاي واژه ي «رياضيات» انتخاب شود، بهترين پيشنهاد، همان واژه ي «راز و مر» باشد كه هم زيباست و هم از نظر معنا، با واژه ي « رياضيات» سازگار است.

برگرفته از « فرهنگ رياضيات »

(انتشارات مدرسه )

بالا

هندسه فركتالي

هر پديده اي را در جهان طبيعت مي توان با زبان رياضيات تفسير كرد .در اين مورد بايد از قسمتي از علم رياضي كه شاخه اي نسبتا جديد است و به نام هندسه فركتالي ناميده مي شود كمك گرفت .واژه فركتال براي اولين بار در سال 1975 توسط مندلبرات وارد دنياي رياضيات شد .تا كنون تعريف عامي براي فركتال ها بيان نشده ،اما به طور كلي فركتال شيئي است كه سه خاصيت زير را داشته باشد:

1) داراي خاصيت خود متشابهي باشد 2)در مقياس ميكروسكوپي بسيار پيچيده باشد 3) بعدش عدد صحيح نباشد

حال به توضيح مختصري درباره هر يك از اين خواص مي پردازيم .

شيئي را داراي خاصيت خود متشابهي اكيد مي گوييم هر گاه قسمت هايي از آن با يك مقياس معلوم ، يك نمونه از كل شيئي باشد . ساده ترين مثال براي يك شيئي خود متشابه در طبيعت گل كلم است كه هر قطعه‌ي كوچك گل كلم متشابه قطعه بزرگي از آن است . همين طور درخت كاج يك شيئ خود متشابه است ،چرا كه هر يك از شاخه هاي آن خيلي شبيه يك درخت كاج است ولي در مقياس بسيار كوچكتر .همچنين در مورد برگ سرخس نيز چنين خاصيتي وجود دارد.

رشته كوه ها ، پشته هاي ابر ، مسير رودخانه ها و خطوط ساحلي نيز همگي مثال‌ها‌يي از يك ساختمان خود متشابه و در مقياس ميكروسكوپي بسيار پيچيده هستند. همه‌ي اين اشيا داراي بعدي هستند كه اين بعد با استفاده از دانش هندسه اقليدسي قابل محاسبه نمي باشد . مثلا با كمك هندسه‌ي اقليدسي مي دانيم كه بعد خط برابر يك ، بعد صفحه برابر دو و بعد فضا برابر سه مي باشد .

اما در مورد اشياي فركتالي ، موضوع فراتر از اينها است فركتال ها بعد صحيح ندارند بعد فركتالي هميشه بزرگتر از بعد توپولوژيكي است . راه هاي مختلفي براي به دست آوردن بعد فركتالي وجود دارد كه ساده ترين آن روش زير است :

مقياس R= D= LOG(N)/LOG(1/R) بعد فركتالي D = تعداد قطعات N=

مثلا خم وان كخ كه امروزه به عنوان دقيق ترين مدل رياضي خطوط ساحلي مشهور است به روش زير تعريف مي شود:

L رسم پاره خطي به طول گام صفر :

گام اول : تقسيم پاره خط يه سه قسمت مساوي و حذف يك سوم مياني و رسم يك مثلث متساوي الاضلاع روي آن

گام دوم : تكرار گام اول روي هر يك از قسمت هاي پديد آمده

بعد فركتالي عبارتست از :

D= LOG (16)/ LOG (9)

= 2 LOG(4)/2 LOG (3) =1.26

همانطور كه ملاحظه مي شود ، اين بعد عدد صحيح نيست و نشان دهنده‌ي اين است كه خم كخ پيچيده تر از خط و ساده تر از صفحه است.

اگر اين الگويتم را روي اضلاع يك مثلث متساوي الاضلاع بينهايت بار تكرار كنيد ، فركتالي به نا م برفدانه‌اي كخ ساخته مي شد وكه بسيار شبيه دانه‌ي برف واقعي است.

نمونه‌ي ديگري ازفركتال ها موسوم به درخت هاي فيثاغورسي هستند .شكل زير معروف به مارپيچ مربع ريشه است.

با ابهام از اين ساختار ، مي توان درخت هاي جالبي با استفاده از الگوريتم زير ساخت:‍

1) مربعي رسم كنيد 2)يك مثلث قائم الزاويه متساوي الساقين را از طرف وترش روي يك ضلع مربع قرار دهيد 3)روي دو ضلع آزاد مثلث مربع بسازيد (دو مربع) 4) روي مربع هاي اخير ، مثلث قائم الزاويه متساوي الساقين قرار دهيد 5) روي هر ضلع آزاد اين مثلث ها مربعي بسازيد (چهارمربع) تكرار مراحل5و4 به دفعات زياد شكلهاي جالبي توليد ميكند.

(HIPPOPOTAMUS) يكي از مثال هاي زيبا از اين نمونه از فركتال ها در طبيعت ، دم اسب آبي است كه شباهت بسيار زيادي به درخت هاي فيثاغورسي دارد . نمونه هاي بسيار زيادي از اين فركتال ها در جهان واقعي ديده مي شود. تقريباً تمام پديده هاي طبيعي كه هندسه اقليدسي از تفسير آن ها عاجز مانده است را با زبان هندسه فركتالي مي توان توجيه كرد

آقای اتابک زاده

استاد راهنمای انجمن

بالا

سرگذشت يك المپيادي

بعضي مواقع پشت دربسته اي آنقدر مي ايستيد كه از ديدن درهاي نا مسدود ديگر، باز مي مانيد .

«هلن كلر »

آن روز كه پسر لاغر اندام با چهره اي رنج كشيده، مدال نخستين نفر المپياد جهاني رياضي در استكهلم-سوئد را به گردن آويخت هيچ يك از رقبايش حتي به ذهنشان هم خطور نمي كرد كه وي روزي رفتگر يك دانشگاه بوده و حتي يك ساعت هم سر كلاس درس دروان دبيرستان حاضر نشده است .

حجت الله سليمي زاده در سال 1349 خورشيدي در روستاي خمس خلخال چشم به جهان گشود،با از دست دادن پدر تحت سرپرستي مادر قرار گرفت و در 7سالگي روانه مدرسه شد . او كه د رراه مدرسه دچار حادثه شده و از ناحيه كمر آسيب ديده بود ، د ر بيمارستان بستري شد و پس از سه سال كه بهبودي كامل دست يافت ، به دبستان زادگاهش مراجعه كرد . براي حضور د ركلاس اول راهنمايي مقررات تحصيلي « بزرگي سن » مانع ادامه تحصيل وي درمدارس روزانه شد . ضمن آنكه او بايد هم درمورد خود و هم خانواده ي هفت نفري شان كه تحت فشار اقتصادي به سر مي بردند ، تصميم مي گرفت . پس بار خود را بست و روستا و خانواده خود را به دليل جستجوي كار در دياري پراز هياهو و آشوب واگذارد وازاين خيابان به آن خيابان وازاين شركت به آن شركت در تكاپو بود تا اين كه در شركت خدماتي ‹ پي پاك› كه كار نظافت دانشگاه شهيد بهشتي را بر عهده داشت مشغول به كار شد و نخستين روز كاري خود را با در د‌ست گرفتن يك جارو و يك سطل آغاز كرد . سليمي زاده خود مي گويد « در ابتدا از كار كردن شرم داشتم و سعي مي كردم خود را پنهان كنم ، فكر مي كردم دختر ها و پسران دانشجوهمگي به من مي خندند و احساس حقارت مي كردم . »

بنابراين پس از يك هفته كار به اميد يافتن شغل ديگر،تهران را زير پا گذاردم و سرانجام دريك شركت توليدي لباس مشغول به كار شدم،اما به دليل ساعات طولاني كار پس از چند روز اين شركت را ترك كردم و درحالي كه از دريچه ي ديگري به شركت ‹ پي پاك › مي نگريستم با خود عهد بستم كه به خاطر فضاي علمي دانشگاه دوباره به آن شركت خدماتي باز گردم ، اين بار برايم مهم نبود كه كسي مرا مي بيند و يا حتي به مسخره ام بگيرد .

سليمي زاده كه تحصيلات دوران راهنمايي اش را به طور متفرقه شروع كرده بود ، در يك خانه ي نيمه ساخته در فرحزاد تهران درميان تمسخر و تعجب هم اتاقي ها مطالعات خود را انسجام بخشيد وي بدون آنكه تسليم مشكلات شود با اراده و پشتكار تحصيلات دوران دبيرستان را در رشته ي رياضي ـ فيزيك آغاز كرد و ديري نپايييد كه به عنوان نماينده ي ايران درالمپياد رياضي به كشور سوئد اعزام شد و مقام اول المپياد رياضي را در بين دانش آموزان سراسر جهان به خود اختصاص داد. او كه ديگر موج مثبت زندگي اش جريان يافته بود ، با تلاش و جديت به تحصيل خود ادامه داد و در سال 74-1373 به عنوان نماينده ايران در المپياد رياضي به كانادا رهسپاركرد و مقام دوم جهاني را از آن خود كرد ، تا اين كه در كنكور رياضي ـ فيزيك به عنوان نفر اول دررشته ي الكترونيك دانشگاه صنعتي شريف پذيرفته شد .

سليمي زاده مثال بارزي از آن دسته افرادي است كه مغلوب محيط و شرايط نمي شوند و به آن چه كه هستند قانع نمي شوند . وي معتقد است :

« از لحاظ استعداد و هوش با بقيه ي مردم برابر است . بهره هوشي و استعداد تنها يك عامل مهم است و مهم پشتكار و بلند همتي است كه حرف آخر را مي زند .»

سليمي زاده پس از يك ترم تحصيل موفقيت آميز در دانشگاه شريف با معدل 97/19 به علت ضعيف بودن چشم و ريزش آب از چشمانش هنگام كار با دستگاههاي الكترونيكي،رشته ي تحصيلي اش را تغيير مي دهد و مشغول تحصيل در رشته ي پزشكي دانشگاه تهران مي شود .

او مقاله هاي بسياري در خصوص مسائل رياضي نوشته و در حال حاضر علاوه بر تحصيل ،هفته اي دو روز در دانشگاه الزهراي تهران رياضي تدريس مي كند و در قسمت انتشارات دانشگاه شهيد بهشتي كار مي كند .

وضعيت زندگي او هنوز تفاوتي با دوران گذشته ندارد وي در بخش كارگران كوي دانشگاه اتاقكي بسيار ساده و بي پيرايه دارد ودر رستوراني در توچال كار مي كند .

او مي گويد : « اين نوع زندگي براي ساختن نفس ، بسيار مفيد است و سبب مي شود كه همواره درد ورنج طبقات پايين را درك كنيم و در زنده نگهداشتن روحيه تلاش براي ساختن جامعه و كمك به محرومان از پاي ننشينيم.»

روحيه شكست ناپذيري،ساده زيستي و بي پيرايگي، داشتن تكيه گاه اعتقادي عميق سليمي زاده، به همراه همدلي و كمك بي دريغ اساتيد دانشكده ي شيمي دانشگاه شهيد بهشتي از او فردي لايق و مفيد ساخته است. فردي كه احتمال نظافت چي ماندن او تا پايان عمر در مقايسه با پزشك شدنش بسيار بيش تر بود.

(برداشتي از نشريه داخلي شركت تولي پرس)

بر گرفته از ماهنامه دانش و مردم

بالا

ساعتي با تكنو لوژي روز دنيا

1)www.matlab6

اين سايت شما را با نرم افزار matlab آشنا مي سازد اين برنامه با نرم افزاري به عنوان يك زبان برنامه نويس و و سيله اي براي مشاهده داده ها مطرح مي باشدو مجموعه اين قابليت هاي محاسباتي را ارائه مي دهد. در اين نرم افزار كه داده ها به صورت آرايه ذخيره مي شوند ، نقش محوري به آرايه ها و ماتريس ها است .

علاوه بر عملگر هاي هاي جبري ماتريس ها اين نرم افزار عملكرد هايي به نام عملكرد هاي آرايه ا ي دارد و مي توانيد با استفاده از آنها مجموعه داده ها را به روش هاي مختلف تغيير دهيد . در اين نرم افزار علاوه بر دستورات مربوط به ماتريس ها، دستوراتي براي برنامه نويسي ارائه شده است . همچنين

به عنوان وسيله اي براي توسعه و پيشرفت استفاده كنيد . در مجموع اين نرم افزار براي حل مسائل گوناگون در رشته ها و زمينه هاي مختلف مهندسي، علوم ، محاسبات و رياضيات ساخته شده است . و از آن مي توان به عنوان ابزاري براي طراحي برنامه هاي كاربردي استفاده نمود.

2)www.derive

در اين سايت با نرم افزار رياضي derive آشنا مي شويد اين نرم افزار براي محاسبات عددي نمادين و عمليات گرافيكي كاربرد دارد .اين توانائي ها وسيله مناسبي براي بررسي توابع و حد ،مشتق و انتگرال توابع فراهم مياورد .توانائي گرافيكي اين نرم افزار در تجسم برخي ساختار هاي مجرد رياضي ، وسيله اي قوي براي كاربران ايجاد نموده است . اين نرم افزار براي يادگيري در زمينه هاي مختلف ، به ويژه در زمينه مباحث حساب ديفرانسيل و انتگرال مورد استفاده فراوان دارد . تعدادي از توانمندي هاي اين نرم افزار عبارتند از عمليات اجرائي و مقدماتي (solve,simplily,expand,factor)، عملكرد گرافيكي (plot)، حساب ديفرانسيل و انتگرال (calculus)، شامل : حد توابع (limit)، مشتق و كاربرد هاي آن (differentiate)، انتگرال و كاربرد هاي آن (integrate) و توبع نمائي و لگاريتم (logaritmic)

غلامرضا صالح كار

بالا

چند اثبات براي نامتناهي بودن مجموعه اعداد اول

اثبات اقليدس :

مقسوم عليه اولي چون n را در نظر بگيريد . اين عدد N= p1p2…pr+1 از عدد هاي اول ، عدد {p1} به ازاي مجموعه متناهي دلخواه و بنا براين مقسوم عليه P1p2…pr و هم مقسوم عليه حاصلضرب N هم مقسوم عليه p ها نيست . چون اگر چنين باشد ،pi يكي از p دارد ولي p تفاضلn-p1p2..pr=1 است كه غير ممكن است . پس هيچ مجموعه متناهي {p1} نمي تواند مجموعه همه عدد هاي اول باشد.

اثبات دوم :

فرض كنيد :p متناهي و p بزرگترين عدد اول باشد. عدد 2p-1 موسوم به عدد مرسن را در نظر بگيريد. و نشان مي دهيم كه هر عامل اول p از2p-1 بزرگتر از p است و از اينجا نتيجه مطلوب به دست مي آيد . فرض كنيد q عدد اولي باشد كه 2p-1را مي شمارد ، پس داريم (پيمانه q) 1 2p چون p اول است ، اين بدان معني است كه عنصر 2 داراي مرتبه p در گروه ضربي zq\{0} از هيات zq است . اين گروه ، q-1 عضو دارد .

بنا بر قضيه لاگرانژ مي دانيم كه مرتبه هر عنصر اندازه‌ي گروه را مي شمارد . يعني داريمp. و از اين رو p<q.

اثبات سوم :

در اينجا عددهاي فرماي fn= 22n +1 را به ازاي n= 0,1,2,3.. در نظر مي گيريم . نشان خواهيم داد كه هر دو عدد فرما نسبت به هم اولند . پس بايد بي نهايت عدد اول وجود دارند . براي رسيدن به نتيجه ، رابطه بازگشتي

(n>=1) =fn -2

را ثابت مي كنيم و ادعاي ما بلا فاصله از آن نتيجه مي شود . در واقع اگر m مثلا fkو fn (k<n ) را بشمارد . آنگاه m عدد 2 را مي شمارد . و بنابر اين m=1 و m=2 ولي m=2 غير ممكن است زيرا همه ي عدد هاي فرما فردند. . براي اثبات رابطه بازگشتي از استقرا بر n استفاده مي كنيم.

به ازاي n=1 داريم f0=3 , f1-2=3 با استقرا مي توانيم نتيجه بگيريم :

fn = (fn-2)fn= (22n-1)(22n+1)= 22n+1-1= fn+1-2() =

اصغر بهمنی

دانشجوی کارشناسی ارشد رياضی محض دانشگاه

صنعتی شريف

بالا

معرفي بزرگترين عدد اول

نام يك دانشجوي 26 ساله با كشف بزرگترين عدد اول شناخته شده ، در تاريخ رياضيات ماندگار شد .عدد اولي كه اخيراًكشف شد، 6320430 رقمي است . براي پيدا كردن اين عدد بسيار بزرگ بيش از دو سال زمان صرف شده است و 200 هزار كامپيوتر متصل به شبكه اينترنت براي پيدا كردن آن به كار گرفته شدند . «مايكل شافر » كه دانشجوي مهندسي شيمي در دانشگاه ميشيگان است ،از كامپيوتر اداره اش براي پردازش هر چه سريعتر اين برنامه استفاده كرد .اين پروژه كه با كمك بيش از 60 هزار داو طلب از سراسر دنيا به انجام رسيد ،جست وجو براي يافتن بزرگترين عدد اول نام گرفت .«مايكل شافر »درباره ي كشف عدد جديد مي گويد :هنگام خروج از جلسه اي كه با مشاورم داشتم متوجه شدم كه كامپيوتر عدد اول جديد را پيدا كرده است .پس از آن بي درنگ همسرم و دوستاني را كه درگير پروژه بوده اند ، با خبر كردم تا در شادي اين خبر بزرگ سهيم شوند . اعداد اول ،عدد هاي مثبت و درستي هستند كه فقط بر خودشان و عدد يك بخش پذير هستند .

«ماركوس سائو توي »رياضيدان در دانشگاه آكسفورد و مؤلف موسيقي اعداد اول مي گويد :كشف عدد اول جديد هر چند غير منتظره بود اما معلومات ما را درباره ي چگونگي توزيع اعداد اول افزايش داد . با اين حال چگونگي توزيع عدد هاي اول در ميان ديگر اعداد درست هنوز هم لاينحل باقي مانده است . اين پروژه برآورد خيلي خوبي از توان محاسباتي كامپيوتر هاي موجود بود . پروژه علاوه بر اهميت آن جالب و سرگرم كننده نيز بود .هر كس گوشه كوچكي از جهان اعداد اول را براي كاوش و تحقيق انتخاب مي كند و رسيدن به نتيجه دلخواه در اين زمينه تا حدي شبيه به بخت آزمايي است .

پروژه يك كامپيوتر مركزي و نرم افزاري رايگان داشت كه شركت كنندگان در پروژه با استفاده از آن نرم افزار فعاليت هايشان را هماهنگ مي كردند . هر كدام از كامپيوتر هاي شركت كننده در پروژه عدد خاصي را به عنوان كانديداي عدد اول جديد امتحان مي كرد . بعضي از شركت كنندگان در پروژه علاوه بر حس كنجكاوي رياضي قصد داشتند سخت افزار كامپيوتر خود را با اين روش محك بزنند. اما عده اي ديگر فقط به اين خاطر كه نام آنها در تاريخ ثبت شود در اين پروژه شركت كرده بود ند. علاوه براين موارد يك انگيزه مالي هم براي شركت كنندگان در پروژه وجود داشت ، زيرا بنياد فرونتير كه يك مؤسسه غير انتفاعي است جايزه اي 100 هزار دلاري براي كشف اولين عدد اول 10 ميليون رقمي تعيين كرده است.

« اسكات كور فسكي »كه شركت او كامپيوتر پروژه را مديريت مي كرد مي گويد:افراد بسياري از مليت هاي گوناگون وسنين مختلف و انواع مشاغل در اين پروژه شركت كردند. اعداد اول بسياربيشتري از آنچه كه تا به حال شناخته شده است ،وجود دارند و مي توان آنها را به روش مشابه و با استفاده از كامپيوترهاي متصل به اينترنت ، كشف كرد.

؛اينترنت:منبع new scientist,2dec.2003

ملیحه انبارکی مطلق

بالا

شما هم مي توانيد

سن و شماره کفش دوستان خود را حدس بزنيد

روال بازی چنين است

از بازيکن می خواهيم سالهای عمر خود را 20برابر کند.20a يا (اگر 20سال است : 20*20=400)

سپس عدد تاريخ امروز( که با d نمايش می دهيم ) به حاصلضرب اضافه کنيد 20a+d يا (اگر فرض کنيم که امروز نهمين روز ماه است : 400+9=409)

حاصل جمع را پنج برابر کنيد 100a+5d يا (5*409=2045)

و سرانجام شماره کفش خود را به آن بيفزائيد. 100a+5d+s يا اگر (s=11 خواهیم داشت :2045+11=2056)

اينک پنج برابر تاريخ امروز را که در دست داريم از حاصل جمع کم کنيد . می ماند 100a+s صدگان نماينده سن و باقی ارقام نشان دهنده شماره کفش است.

در اينجا (2056-45=2011) بنابر این طرف بازی ما 20 ساله و شماره کفش آن 11 است.

بالا

رابطه هم ارزی

a= استاد

b=a دانشجوي

K: دانشگاه ( استاد ، دانشجو ، كارمند)

~ نمره خوب مي دهد : b به a

مسلما هر استادي به خود نمره خوب مي دهد (اگر شك داريد امتحان كنيد )

هر دانشجويي مي داند كه اگر استاد به او خوب نمره دهد ، او نيز بايد به استاد در نظر سنجي ها نمره خوب و حتي عالي بدهد.

3) تناقض دارد

هر دانشجويي كه از استاد نمره خوب بگيرد ، اگر روزي خود استاد شود و به دانشجويي نمره خوب بدهد ، الزامي نيست استاد وي به دانشجوي وي نيز نمره خوب بدهد . همچون ممكن است در طي ساليان بعد از واقعه ي نمره خوب دادن استاد به وي بين وي و استادش به دلايل مختلفي شكر آب شده باشد و استاد وي ، دق و دلی خود را بر سر دانشجوي از همه جا بي خبر خالي كند .

و در نتيجه رابطه بالا يك رابطه هم ارزي نيست .

زينب عمرانی پور

نشريه الگوريتم

بالا

زندگي نامه

گيوم فرانسوا انتوان هوپيتال ، در سال 1661 در پاريس و در خانواده اي ثروتمند و اشرافي ، متولد شد . او عنوان «ماركيز» و «كنت» را هم با خود داشت .رياضيات در زندگي كودكي هوپيتال ، هيچ نقشي بر عهده نداشت . او در زبان لاتين ، كه در زمان او از مهمترين موارد درسي بوده است پيشرفت كمي داشت . استعداد او تقريبا تصادفي و وقتي كه يك كتاب درسي هندسي در اختيار او قرار گرفت ،كشف شد.ابتدا به طرف شكل هاي كتاب جلب شد و به اين دليل، نظري هم به كتاب انداخت تا بتواند از كم و كيف شكل ها سر در آورد. ولي همين آشنايي اوليه او با هندسه ، خيلي زود علاقه اي واقعي در او به وجود آورد . در سال 1693 هوپيتال به عنوان عضو فرهنگستان علوم پاريس انتخاب شد .

اين رياضي دان جوان ، معلوم نيست به چه علتي ، نتوانست معلم خوبي پيدا كند و ناچار شد موضوع مورد علاقه اش را پيش خود ،كاملا عميق ياد بگيرد.در اين روايتي وجود ندارد.وقتي كه 15 سالش بود در اجتماعي ظاهر شد كه صحبت از پاسكال و استعداد فوق العاده ي او بود. بين همه كساني كه داستان حل يكي از مسئله ها را ، باشگفتي و تحسين ،دنبال مي كردند ، تنها هوپيتال ساكت بود . فقط گفت هيچ دليلي براي شگفتي نمي بيند به نظرش ميرسيد كه او هم مي تواند چنين مسئله اي را حل كند و در واقع هم ، بعد از 2 روز راه حل اختصاصي خود را ارائه داد . در سال 1695 اساسي ترين اثر زندگي او ، يعني «آناليز» منتشر شد . نام كامل كتاب چنين بود : «آناليز بينهايت كوچكها براي درك منحني ها » تعريف متغير و ديفرانسيل ، درست همان است كه لايب نيتس آورده است ، فرض هايي كه هوپيتال شرح داده است از اين قرار هستند.

1) مقداري تنها به مقدار ديگري تغيير مي كند كه نسبت به خودش به ميزان بسيار كوچكي اضافه يا كم شده است و ميتواند همچون خود آن مقدار مورد بررسي قرار گيرد.

2) منحني ها را مي توان همچون مجموعه اي نامتناهي از خط هاي راست بي نهايت كوچك در نظر گرفت.

قانون ديفرانسيل گيري را از اينجا آغاز مي كند كه : ديفرانسيل مقدار ثابت، برابر صفر است . سپس به ديفرانسيل گيري از مجموع (تفاضل)،

D(xy) = ydx+ xdy + dxdy (1) حاصلضرب ، خارج قسمت و توان كميت ها مي پردازد . مثلا در باره ديفرانسيل حاصلضرب :

در مي آيد و سپس قاعده را تنظيم مي كند . «ديفرانسيل حاصلضرب دو Ydx+ xdy كه بر اساس فرض يك ديفرانسيل حاصلضرب به صورت :

كميت، برابر است با حاصلضرب ديفراسيل كميت اول در خود كميت دوم بعلاوه ي حاصلضرب ديفرانسيل كميت دوم در خود كميت اول

جالب اين كه هوپيتال ، ديفرانسيل خارج قسمت را ، به نحوي غير از نتيجه گيري معلم خود پيدا مي كند.

يوهان برنولي اين ديفرانسيل را ،به نحوي كه امروز مي دانيم پيدا كرده است:

Dx = ydz+zdy تبديل ميكند و با استفاده از ديفرانسيل حاصلضرب ، بدست مي آورد X=yz را به ضرب Z=x/y هوپيتال ، خارج قسمت

به نتيجه نهايي ميرسد همچنين ديفرانسيل توان ، با استفاده از X/y به z و بعد ، با تبديل را پيدا مي كند:Dz از آن جا مقداراستدلالي كه هوپيتال براي شرط لازم وجود ماكزيمم ومينيمم مي كند بسيار D(x2)=xdx+xdx=2xdx ديفرانسيل حاصلضرب به دست مي آيد.مثلا

جالب است. استدلال او چنين است : تابع ، قبل از نقطه ماكزيمم صعودي و ديفرانسيل تابع ، مثبت است . بعد از نقطه ماكزيمم ، تابع نزولي و ديفرانسيل آن منفي است ولي ديفرانسيل تابع ، مثل خود تابع پيوسته است . ولي ديفراسيل ، با توجه به پيوستگي آن نمي تواند از مثبت به منفي برود، مگر اينكه متاسفانه هوپيتال در اينجا دچار بي دقتي مي شود و گمان dy = 0 از صفر عبور كند .بنابراين شرط ماكزيمم يا مينيمم اين است كه در آنجا داشته باشيم

ميكند كه در نقطه بحراني ، ديفرانسيل برابر بي نهايت هم مي تواند باشد . و اين ، از اين بابت بيشتر تاسف انگيز است كه كه در تعريف، ديفرانسيل را بنا بر نظر لايب نيتس ، همچون يك مقدار بي نهايت كوچك داده است .

ضمن كار هاي هوپيتال بايد از مقاله سال 1699 او هم ياد كرد كه در آن ، راه حل يكي از مسئله هاي نيوتون را ارائه داده است . خود نيوتون ، تنها نتيجه گيري مسئله را بدون راه حل داده بود. آخرين كار معروف هوپيتال «رساله ي تحليلي مقطع هاي مخروطي » به بررسي منحني هاي درجه دوم اختصاص داد .با وجودي كه بررسي خود را تحليلي ناميده است.

در سال 1704 ، هوپيتال 43 ساله ، در اثر سكته مغزي در گذشت . در پايان سده هفدهم ، هوپيتال چهره ي شناخته شده اي در ميان رياضي دانان اروپايي بود .بين دانشمندان درجه دوم ، مي توان او را دست كم به خاطر حل موفقيت آميز مسئله هاي مشهور نيوتون ، لايب نيتس يا كوب و يوهان برنولي ، برجسته دانست. با همه اينها ، افتخار اصلي هوپيتال را بايد به خاطر كتاب «آناليز» او دانست.

زهرا پرويزی

منبع : آفرينندگان رياضی عالي

بالا

عدد پي

يونان باستان مساحت هر شكل هندسي را از راه تربيع آن يعني از راه تبديل ان به مربعي هم مساحت بدست مي آوردند.از اين راه توانسته بودند به چگونگي محاسبه هر شكل پهلو دار پي ببرند . آن گاه كه محاسبه مساحت دايره پيش امد دريافتند كه تربيع دايره مسئله اي ناشدني مي نمايد . در هندسه اقليدسي ثابت شده بود كه نسبت محيط هر دايره به قطر آن عدد ثابتي است . و مساحت دايره از ضرب محيط در يك چهارم آن بدست مي ايد و مسئله بدان جا انجاميد كه خطي رسم كنند كه در ازاي آن با آن مقدار ثابت برابر باشد رسم اين خط ناشدني است .سرانجام راه چاره را در آن ديدند كه يك مقدار تقريبي مناسب براي آن مقدار ثابت بدست آورند .

ارشميدس كسر بيست و دو هفتم را بدست آورد كه ساليان دراز آن را به كار مي بردند .پس از آن و براي محاسبات دقيقتر كسر سيصد و پنجاه و پنج بر روي صد و سيزده را به كار بردند. اختلاف بين عدد پي و مقدار تقريبي سيصد و پنجاه و پنج بر روي صد و سيزده فقط حدود سه ده ميليونم است .

رياضي دان بزرگ ايراني جمشيد كاشاني براي نخستين بار مقدار ثابت نسبت محيط به قطر دايره را بدست آورد كه تا شانزده رقم پس از مميز دقيق بود اين رياضي دان و منجم مسلمان ايراني توانست مقدار 2 را تا شانزده رقم اعشار در رساله محيطيه برابر

6.2831853071795865

بدست آورد .

در جمله ي زير هرگاه تعداد حرف هاي كلمه ها را در نظر بگيريد مقدار عدد پي تا ده رقم پس از مميز بدست خواهد آمد :

خرد و بينش و آگاهي دانشمندان ره سر منزل مقصود به ما آموزد .

به منظور كسب اطلاعات جديد و بيشتر مي توانيد به آدرس هاي زير روي اينترنت مراجعه نماييد.

1)http://ernie.bgsu.edu/corother/pi1.html

2)www.cecm.sfu.ca/pi/pi.html

3)http:/ /eveander.com/trivia

بالا

ادب رياضی

نيوتن، ابتدا شاگردي متوسط بود ودرخششي از خود نشان نمي داد. تا اين كه از حسن اتفاق ، يكي از همسالانش با او به زد و خورد پرداخت و بر او غلبه كرد؛ به زبان ساده تر،كتك مفصلي به او زد . راهي براي انتقام مستقيم نبود! زيرا حريف خيلي از نيوتون نيرومندتر بود. نيوتون ناچار تصميم گرفت ، رقيب را در درس عقب بگذارد . با اين هدف ، جديت بيشتري از خود نشان داد و چنان شوق و ذوقي به كار برد كه شاگرد اول مدرسه شد. حق با « فيگ ليو »است. وي درباره ي نوجواني كه نيوتون را كتك زد ، گفته است :« هيچ كس چنين مشت موفقيت آميزي نزده است .»

شهر هندسه

معلم هندسمون كه اون روزها، بهش مي گفتيم مخ هندسه و امروزي ها بهش مي گن اند هندسه برامون قصه اي از سرزمين هندسه تعريف مي كرد كه شاهشاه پر قدرتي به نام « پرگار » داشت و داروغه اونم «خط كش» بود و يك « سر» بي همه چيز كه ما بهش مي گيم« نقطه» توي شهر مي چرخيد و اون از روزي حرف زد كه « شابلون دايره » ادعا كرد كه همون پرگاره . و وقتي توي شهر هندسه گم شد هيچكس نتونست براش كاري بكنه چون زبونش رو نمي فهميد .... شايد

خيلي خوب و تميز دايره مي كشيد، اما هرگز زبون پرگارو نفهميد ؟!

منبع : اينترنت

مليحه انبارکی مطلق

بالا

چند مسئله پيکار جو

A )عددي شش رقمي را پيدا كنيد كه اگر سه رقم سمت راست آن را ، با همان رديف به سمت چپ عدد منتقل كنيم ، به شش برابر خودش تبديل مي شود .

B ) ثابت كنيد ،عددي هشت رقمي وجود ندارد كه ، اگر چهار رقم سمت راست آن را ، با همان رديف ، به سمت چپ آن عدد منتقل كنيم، به شش براب رخود تبديل مي شود .

منبع :گزيده اي از مهمترين مسأله ها و قضيه هاي رياضي

ابوالحسن سهولی

بالا

پارادوكس شيپور گابريل

در اين مقاله اين تناقض و جود دارد كه : يك بار ثابت مي شود ،تمام رنگ هاي دنيا براي رنگ كردن يك سطح كافي نيست و از طرف ديگر ثابت مي شود با مختصر رنگي ، مي توان همان سطح را رنگ كرد .طرح اين مسئله بصورت زير است :

را در نظر مي گيريم Y=1/x(x>0) تابع حقيقي به صورت، نمودار تابع را در صفحه محور هاي مختصات رسم مي كنيم .

مي خواهيم ثابت كنيم سطح زير منحني به معادله

Y= 1/x x>=1

را نمي توان با همه رنگ هاي دنيا رنگ كرد .Xو محور را با پي واحد مكعب رنگ مي توان كرد .(كه در اين صورت سطح جانبي حاصل هم رنگ x2. جسم نامتناهي حاصل از دوران اين سطح حول محور

خواهد بود )

3 .سطح جانبي اين جسم حاصل از دوران اين سطح را نمي توان با همه رنگ هاي دنيا رنگ كرد .

( حل 1 ) در حقيقت سؤال اينست که آيا سطح A در شکل 1 متناهی است ؟

حال به محاسبه اندازه سطح A می پردازيم .

= lim b+ln (X) { } { } { } { } 1b = lim b{ } { } { } +{ } { } { } ln (b-ln 1)=+{ } { } { }

نامتناهي است و نمي توان آن را با تمام رنگ هاي دنيا رنگ كرد .A پس مقدار

ها محاسبه مي كنيم x راحول محور A(حل 2) حال حجم جسم حاصل ار دوران سطح نامتناهي

Lim b{ } { } { } +{ } { } { } { } { } { } { } { } { } = Lim b{ } { } { } +{ } { } { } { } { } { } = Lim b{ } { } { } +{ } { } { } { } { } { } (-{ } { } { } )1b = { } { } { } { }

واحد مكعب رنگ ، پر از رنگ كرد .{ } { } { } پس مي توان آنرا با

باشد نمي توان رنگ كرد .A در اين صورت سطح جانبي جسم هم رنگي خواهد شد. در حالي كه نصف مقطع عرضي آنرا كه همان سطح نامتناهي

(بنا به حل 1)

در رياضي اين جسم به شيپور گابريل معروف است .

(حل 3) سطح جانبي جسم نامتناهي را محاسبه ميكنيم.

S = Lim b{ } { } { } +{ } { } { } { } { } { } (ds = { } { } { }

S = = Lim b{ } { } { } +{ } { } { } 2{ } { } { } { } { } { } = Lim b{ } { } { } +{ } { } { } 2{ } { } { } { } { } { }

محاسبه انتگرال اخير مشكل است ، ولي توجه داشته باشيم كه :

s>+{ } { } { } پس مي توان گفت كه { } { } { } >{ } { } { } = { } { } { }

پس سطح جانبي جسم ، نامتناهي است و همه ي رنگ هاي دنيا براي رنگ كردن آن كافي نيست ، در حاليكه در حل 2 نتيجه گرفتيم كه سطح جانبي به همراه حجم جسم با{ } { } { } واحد مكعب رنگ ، رنگي خواهد شد.

عبدالحميد پهلوزاده

نشريه نويد مدرسه

بالا

زنگ تفريح

شعر را مي توان به معادله و يا اتحاد رياضي تشبيه كرد . اين دو اصطلاح رياضي بسيار به يكديگر نزديك هستند . هر دو داراي جمله هايي هستند كه بين آنها يك علامت تساوي وجود دارد و جمله هاي دو سوي با هم برابرند . تنها تفاوتشان اين است كه در معادله جمله يا جمله هايي وجود دارد كه شامل يك مجهول است و پس از حل معادله مجهول به دست مي آيد ولي در اتحاد مجهولي وجود ندارد و با عمليات جبري كه انجام مي شود هر دو سوي اتحاد با هم برابر مي شوند . يك بيت از اشعار فارسي هم شامل دو مصراع است كه از لحاظ وزن،قافيه و معني يكسانند و يا معني يك مصراع مكمل معني مصراع ديگر است . بنابراين شعر مانند يك اتحاد است كه دو سوي آن با هم برابرند .

قطر آن دايره كه كل محيط جذر تصحيـف ضد نسيه بود

هم نشين مصحـفش كردم نام آن را دان كه بنده را نبود

حل : ضد نسيه يعني نقد و تصحيف (يعني جابجا كردن حرف ها و يا نقطه هاي يك واژه ) نقد مي شود

مي باشد و جذر آن 22 است . دايره اي كه محيطش 22 باشد400+80+4=484 « تفد » كه به حساب جمل

قطرش 7 است كه اين عدد در حساب جمل با حرف « ز» مطابقت دارد و چون حرف « ز » را با حرف «ر» كه مصحف آن است هم نشين كنيم واژه «زر»به معني طلا كه پاسخ اين معما است به دست مي آيد.

بالا

تصاعد ها

در كشور ما ايران در سده هاي چهارم و پنجم هجري ، بسياري از رياضي دانان ايراني ، به بررسي تصاعد ها پرداخته‌ اند از جمله « ابوريحان بيروني » در كتاب خود به نام « آثار الباقيه عن القرون الخاليه » مسئله معروف صفحه شطرنج را كه در واقع مسئله اي مربوط به يك تصاعد هندسي است كه جمله ي اول آن واحد و تعداد جمله ها 64 باشد ، حل كرده است و با استدلال دقيق ، مجموع جمله هاي اين تصاعد را به دست آورده است

18446744073551615.

درباره صفحه شطرنج ، روايتي وجود دارد . وقتي مخترع شطرنج ، كشف خود را به شاه عرضه كرد ، شاه از اوخواست پاداشي بخواهد ، دانشمند پاسخ داد : به خاطر خانه اول شطرنج ، يك دانه گندم به من بدهيد و به خاطر خانه دوم دو دانه‌ي گندم و به خاطر خانه سوم چهار دانه‌ي گندم و همينطور براي هر خانه دو برابر خانه‌ي پيش از آن گندم به من بدهيد تا به خانه شصت و چهارم برسد . شاه با ساده لوحي فرمان داد يك كيسه گندم به اين مرد بدهيد . ولي او نپذيرفت و تقاضا كرد پس از محاسبه دقيق ، گندم را به او بدهند و پس از محاسبه، عددي را كه در بالا آورديم پيدا شد .كه اگردر تمام سطح كره زمين (يعني هر جا كه خشكي باشد ) گندم بكارند اين مقذار گندم به دست نمي آيد. ابوريحان بيروني با استدلال به اين نتيجه رسيد كه مقدار گندم ها برابر 264-1 و براي محسوس كردن اين عدد مي گويد:در سطح كره مين 2305 كوه را در نظر مي گيريم ، اگر از هر كوه 10000رود جاري شود ، در طول رود خانه 1000قطار قاطر حركت كند و هرقطار شامل 1000قاطر باشد و بر هر قاطر 8 كيسه گندم قرار داده باشيم . ودر هر كيسه 10000دانه گندم باشد . آن وقت عدد همه‌ي اين گندم ها از تعداد گندم هاي صفحه شطرنج كوچكترمي شود.

زينب برقي

منبع :تاريخ رياضيات

بالا

مسئله اي از منطق :

جزيره ي راستگو ها و دروغگو ها

در جزيره ي ناشناخته اي عده اي راست گو و عده اي دروغ گو زندگي مي كنند . راست گو ها هميشه راست مي گويند و دروغ گو ها بدون اينكه خجالتي بكشند ، هميشه دروغ مي گويند. هر يك از ساكنان اين جزيره نيز يا راستگو است يا دروغگو . در مورد اين جزيره مسئله هاي بسياري وجود دارد كه مي خواهيم در اين بخش به بعضي از آنها اشاره كنيم . ابتدا به سراغ يكي از مسئله هاي بسيار معروف در اين زمينه مي رويم.:

الف) سه نفر ازساكنان اين جزيره در باغي كنار هم نشسته اند اين سه نفر را A و Bو C مي ناميم .فرد ناشناسي وارد باغ مي شود و از A مي پرسد « تو راستگو هستي يا دروغگو؟»A جواب او را مي دهد ولي متاسفانه فرد ناشناس متوجه نمي شود در نتيجه رو به B مي كند و مي پرسد « ببخشيد ! شما متوجه شديد كه A چه گفت؟» B جواب مي دهد:« A گفت كه دروغگو است». در همين زمان C فرياد مي زند :« به حرف B گوش نده ! او دروغگو است»

ب) AوB در كنار هم هستند .A مي گويد: « يا من دروغگو هستم يا B راستگو است.» A و B راستگو هستند يا دروغگو.؟

زينب برقي

بالا

اثري از قضيه دمورگان در سخن سعدي

محال است كه هنرمندان بميرند و بي هنران جاي ايشان بگيرند.

در اين نوشتار ، از منطق رياضي براي صحيح خواندن سخن حكيمانه ياد شده كمك مي گيريم . عبارت ياد شده را با علامت هاي منطق رياضي مي نويسيم . دو گزاره زير را در نظر مي گيريم .

هنرمندان مي ميرند

بي هنران جاي هنرمندان را مي گيرند .

گزاره نخست را با P و گزاره دوم را با q نشان مي دهيم . علامت هاي منطقي~ { } { } { } را به ترتيب براي

ناقض به جاي چنين نيست كه

عاطف به جاي و

فاصل به جاي يا (منطقي)

به كار مي بريم.

عبارت مورد بحث را به دو صورت مي توان خواند كه با علامت هاي منطقي به صورت هاي زير نوشته مي شوند .

{ } { } { } (3)

{ } { } { } (4)

در عبارت 3 ، دامنه ي عمل ناقض ، مولفه ساده p است . در عبارت 4 دامنه عمل ناقض تركيب عطفي { } { } { } است.

چون گزارهq نادرست است ( زيرا بي هنران هرگز نمي توانند جاي هنرمندان را بگيرند) پس گزاره مركب 3 نادرست است .( زيرا مي دانيم كه تركيب عطفي دو گزاره وقتي درست است كههر دو مولفه اش درست باشند.)

اكنون گزاره مركب 4 را بنابر قاعده دمورگان به صورت زير مي نويسيم:

{ } { } { } (5)

(توضيح : تركيب منطقي « چنين نيست كه (p , q) معادل است با تركيب منطقي (چنين نيست كه p يا چنين نيست كه q).»

چون در تركيب فصلي 5 مولفه (~q) درست است ( زيرا ~q به اين معني است كه بي هنران نمي توانند جاي هنرمندان را بگيرند) پس گزاره مركب 5 درست است (زيرا مي دانيم كه تركيب فصلي دو گزاره ، فقط و فقط وقتي نادرست است كه هر دو مولفه اش نادرست باشند)

بنابراين عبارت مورد بحث را بايد طوري خواند كه ناقض « محال است كه » دامنه‌ي عمل خود را بر عبارت «هنرمندان بميرند و بي هنران جاي ايشان بگيرند» بگستراند.

لازم است كه درعبارت مورد بحث « بميرند و»به صورت « بميرندُ » تلفظ شود و سپس بدون مكث جمله ي « بي هنران جاي ايشان را بگيرند»گفته شود.

به كارگيري منطق رياضي براي خواندن درست سخن سعدي ، نشان مي دهد كه در اين سخن ، اثري از قضيه دمورگان وجود دارد /هنگامي كه سخن سعدي را درست بخوانيم شكوهِ آوايي آن جلوه گر مي شود.

منبع : رياضي دلاويز در ادب گهرريز

عظيمه تشاني

بالا

info@razomar.20m.com

کلیه حقوق این سایت متعلق به انجمن ریاضیات مراکز تربیت معلم بوشهر است

هدیه ی ما برای شما